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Le
chaos n'est pas ce que vous croyez !
Il ne s'agit pas d'établir des équations
sur le désordre et l'anarchie, ou sur le hasard... quoique
!
Non, non. Il s'agit d'un domaine mathématique qui tente
d'analyser les processus (apparemment) imprévisibles
Pourquoi
"apparemment" ?
L'épistémologue que je suis a tendance à
sourire quand des scientifiques
apposent un qualificatif aussi mystérieux que l"imprévisible
sur une évolution
Le propre de la démarche scientifique est de créer
des continuités
à partir de contenus déjà sûrs
et éprouvés.
..Poser
a priori qu'une évolution est imprévisible
(j'insiste sur "a priori"),
c'est à coup sûr s'exposer à des discussions
sans fin :
« - ouais, ouais, votre "imprévisibilité"
cache un ordre complexe que vous n'avez pas trouvé
!
- Si si, je vous l'affirme, l'ordre naît du hasard...
»
ET POURTANT : il faut avouer que la théorie du chaos
est fort amusante et interrogative !
- Pour
commencer, partons d'une expérience facilement
vérifiable avec un tableur informatique (celui
d'Open Office
par exemple)
- Supposons
que sur une île, on implante une centaine de
lapins.
- Selon
les contraintes du milieu, la population Y augmentera
ou diminuera. Appelons k
le coefficient de natalité mensuel. Y = k
n (n étant le nombre de mois)
Si k = 2,
la population sera de 2 x 100 lapins, soit 200 lapins,
puis le mois suivant 2 x 2 x 200 = 400 lapins !
Vous comprendrez qu'au bout de 10 mois, la population
sera de 210 x 100 lapins, soit 102400
lapins ! Je n'ose imaginer ce qu'il en serait au
bout de 10 ans !
- Inversement,
si le coefficient k
est inférieur à 1,
la population diminuera. Supposons k = 0,5...
La seconde année, la population sera Y1
= 0,5 x 100 = 50 lapins, la troisième année,
Y2 = 25 lapins, et au bout de 7, 8 ans...
plus de lapins. Mais ce cas-là ne nous intéresse
pas...
- Pour
compenser l'augmentation, il faut introduire un coefficient
négatif ε d'ordre 2, dépendant
du nombre de mois, petit pour ne pas perturber l'évolution
initiale, mais qui intervient par exemple quand la
population augmente trop vite. On fixera arbitrairement
ε = 0,0001 (un dix-millième) et on
s'amusera à faire varier k
On écrit Yn = k Yn-1
- ε Yn-1
2 ou Yn = k Yn-1(1
- ε Yn-1)
- Sur
votre tableur, faites 3 colonnes : l'une avec les coefficients k
et ε dans deux cellules, une avec n et une avec Yn.
On va regarder la colonne des Y en fonction de n, en
tenant compte de la variation de k...
Ah
! Que va-t-il se passer ?
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