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THÉORIE du CHAOS (1)


Le chaos n'est pas ce que vous croyez !
Il ne s'agit pas d'établir des équations sur le désordre et l'anarchie, ou sur le hasard... quoique !

Non, non. Il s'agit d'un domaine mathématique qui tente d'analyser les processus (apparemment) imprévisibles


Pourquoi "apparemment" ?
L'épistémologue que je suis a tendance à sourire quand des scientifiques
apposent un qualificatif aussi mystérieux que l"imprévisible sur une évolution
Le propre de la démarche scientifique est de créer des continuités
à partir de contenus déjà sûrs et éprouvés.

..Poser a priori qu'une évolution est imprévisible (j'insiste sur "a priori"),
c'est à coup sûr s'exposer à des discussions sans fin :
« - ouais, ouais, votre "imprévisibilité" cache un ordre complexe que vous n'avez pas trouvé !
- Si si, je vous l'affirme, l'ordre naît du hasard... »
ET POURTANT : il faut avouer que la théorie du chaos est fort amusante et interrogative !

  • Pour commencer, partons d'une expérience facilement vérifiable avec un tableur informatique (celui d'Open Office par exemple)
    • Supposons que sur une île, on implante une centaine de lapins.
      • Selon les contraintes du milieu, la population Y augmentera ou diminuera. Appelons k le coefficient de natalité mensuel. Y = k n (n étant le nombre de mois)
        Si k = 2, la population sera de 2 x 100 lapins, soit 200 lapins, puis le mois suivant 2 x 2 x 200 = 400 lapins ! Vous comprendrez qu'au bout de 10 mois, la population sera de 210 x 100 lapins, soit 102400 lapins ! Je n'ose imaginer ce qu'il en serait au bout de 10 ans !
      • Inversement, si le coefficient k est inférieur à 1, la population diminuera. Supposons k = 0,5...
        La seconde année, la population sera Y1 = 0,5 x 100 = 50 lapins, la troisième année, Y2 = 25 lapins, et au bout de 7, 8 ans... plus de lapins. Mais ce cas-là ne nous intéresse pas...
    • Pour compenser l'augmentation, il faut introduire un coefficient négatif ε d'ordre 2, dépendant du nombre de mois, petit pour ne pas perturber l'évolution initiale, mais qui intervient par exemple quand la population augmente trop vite. On fixera arbitrairement ε = 0,0001 (un dix-millième) et on s'amusera à faire varier k
      On écrit Yn = k Yn-1 - ε Yn-1 2 ou Yn = k Yn-1(1 - ε Yn-1)
  • Sur votre tableur, faites 3 colonnes : l'une avec les coefficients k et ε dans deux cellules, une avec n et une avec Yn. On va regarder la colonne des Y en fonction de n, en tenant compte de la variation de k...
Ah ! Que va-t-il se passer ?

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